FİBONACCİ SAYILARI

FİBONACCİ SAYILARI

İtalyan matematikçi Fibonacci yazdığı matematik kitaplarından birinde tavşan çiftliği olan bir arkadaşıyla ilgili olduğunu iddia ettiği bir problem sorar. Bu probleme göre arkadaşının çiftliğindeki tavşanlar doğdukları ilk iki ay yavru yapmazlar. Üçüncü aydan itibaren her çift her ay bir çift yavru yapar. Buna göre Fibonacci’ nin arkadaşı bir çift tavşanla başlarsa kaç ay sonra kaç çift tavşanı olur?

İlk ay yeni doğmuş bir çift tavşanımız olsun. Matematik problemlerinde bu yavruların anasız babasız nasıl büyütülecekleri konusuna pek girilmez! İkinci ayda bu tavşanlar henüz yavrulamadıkları için hala bir çift tavşanımız var. Üçüncü ay bunlar bir çift yavru verecek ve iki çift tavşanımız olacak. Yeni doğan çift dördüncü ay doğurmayacak, oysa ana babaları yeniden bir çift yavru yapacak ve toplam üç çift tavşanımız olacak. Bu şekilde devam edersek pek bir yere varamayacağız galiba. Düşünsenize 100. aya kadar hesabı böyle götürmemiz mümkün mü? Öyleyse daha cesur düşünelim: Örneğin 100. ayda kaç tavşanımız olacağını doğrudan hesaplamaya çalışalım.99. ayda kaç tavşanımız varsa onların hepsi 100. ayda da olacak. Bunların bir kısmı yavrulayacak. Yavrulayacak olanların en az iki aylık olması gerektiğine göre 100. ayda yavrulayacak olanlar 98.ayda sahip olduğumuz tavşanların hepsi olacak. Demek ki 100. aydaki tavşan sayısını bulmak için 98.aydaki tavşan sayısıyla 99. aydaki tavşan sayısını toplamak gerekiyor.

Bu hesaba bazı itirazlar yükselebilir. Biz sadece 100. aydaki sayıyı merak ediyorduk. Şimdi onu bulmak için hem 98. hem de 99. aylardaki sayıyı bulmamız gerekecek. İşimiz birken ikiye katlandı. Ama durun. Bu hesabı 100. ayda değil üçüncü aydan itibaren yapalım. Birinci ve ikinci aylarda birer çift tavşanımız vardı. Demek ki üçüncü ay iki çift tavşanımız olacak. Şimdi ikinci aydaki bir çift ile üçüncü aydaki iki çifti toplayalım. Dördüncü aydaki üç çifti bulacağız. Böylece her ay daha önceki iki aydaki tavşan çiftlerinin sayısını toplarsak o ay kaç çift tavşanımız olacağını bulacağız.

Burada galiba dile getirilmemiş bir varsayım verilmektedir, her tavşan çiftinin bir dişi bir erkek tavşandan oluştuğu varsayımı yer almaktadır; ancak bunu matematikten çok biyolojinin konusu olarak bir yana bırakırsak geriye kalan hesap işi zor değildir. Biraz düşünerek tavşan toplumunun nasıl oluştuğunu saptadıktan sonra aşağıdaki sayı dizisini elde ederiz.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...

Bu diziye baktığımızda onun çok basit bir biçimde oluştuğunu hem görebiliriz. Sözcüklerle bu şöyle ifade edilebilir; her sayı (doğal olarak ilk ikisi dışında) kendisinden evvel gelen iki sayının toplamından oluşmuştur.

Tavşanların ölümlü olduklarını ve doğurganlıklarının saat gibi dakik düzeninde bir azalma olabileceğini yok sayarsak yukarıda verilen sayı dizisi, istenildiği kadar, çok büyük sayılara sürdürülebilir. Örneğin dizinin 25. sayısı 75.025, 100. sayısı ise 354.224.848.179.261.915.075 sayısıdır.

Eğer her Fibonacci sayısını bir sonraki komşusuyla bölerek bulunan oran yazılırsa (F₁ / F₂ = 2, F₂ / F₃ = 1/2... gibi) aşağıdaki sayıları elde ederiz.

1,000000
0,500000
0,666666
0,600000
0,625000
0,615385
0,619048
0,617647
0,618182
0,617978
0,618056
0,618026
0,618037
0,618033
0,618034
0,618034...

Bu sayılar beklenmedik bir 0,618034... sayısına doğru gidiyorlar. Gerçekte bu, "Fibonacci oranları" nı almayı sonsuza kadar sürdürme sonucunda bulunan sayılar 0,618033989 sayısına giderek yaklaşırlar...

Fibonacci sayıları ailesi, üç ayrı nedenle yüzyıllardan bu yana yoğun bir ilgi odağı olmuştur: Birincisi, dizinin daha küçük üyelerinin doğada, beklenmedik yerlerde tekrar tekrar karşımıza çıkmasıdır. İkinci neden, oranların limit değeri olan 0,618033989 sayısının çok önemli bir sayı olmasıdır; çoğu kez altın oran olarak adlandırılan bu sayının, oyun kartlarının biçiminden Eski Yunan sanatı ve mimarisine kadar birçok şeyin matematiksel temelini oluşturduğu görülmektedir. Üçüncüsü daha çok, sayıların kendilerinin, sayılar teorisinde beklenmedik biçimde farklı birçok kullanımı olan ilginç özellikleriyle ilgilidir.

Fibonacci sayılarına doğadan örnek verecek olursak;
Yoncaların hemen hepsi üç yapraklıdır. Kırlarda gördüğünüz çiçekleri çevreleyen taç yaprakların sayısı genellikle beştir. Düğün çiçekleri, sardunyalar, menekşeler, çuha çiçekleri, domates ve daha pek çok bitkinin çiçeklerin beş taç yaprağı vardır.

Söz gelimi yatay olarak ikiye bölünmüş bir elmanın tohumlarının beş köşeli bir yıldız gibi tam ortada yer aldığını görebilirsiniz. Bir ay çiçeği bitkisinin de çiçeği de çok ilginçtir. Üzerinde çok sayıda küçük çiçekçik bulunur. Bu çiçekler sonradan tohumlara dönüşürler. Benzer durumu papatyalarda brokoli ve karnıbaharda da görebiliriz.